諸悪の根源は物理的:素数パズル

2006年02月16日

素数パズル

いつも問題に気がつく前に答が発表されてしまっていた結城さんのパズルだが、今回は問題だけを見つけることができた。

5本の指（親指、人差指、中指、薬指、小指）に、2以上の整数を順番に割り当てます。たとえば以下のように。

(A) 親指=2, 人差指=3, 中指=4, 薬指=5, 小指=6

(B) 親指=3, 人差指=4, 中指=5, 薬指=6, 小指=7

(C) 親指=11, 人差指=12, 中指=13, 薬指=14, 小指=15

(D) 親指=1234567, 人差指=1234568, 中指=1234569, 薬指=1234570, 小指=1234571

このとき「親指・中指・小指に割り当てた数がすべて素数になる」のは、親指が3の場合（つまり上記の(B)）だけであることを証明してください。

※素数の定義を知っていれば小学生でも解けるはずです。

小学生でも分かる解答を。

５本の指に数を順番に割り当てるので、次の３通りのパターンがありえる。
・親指と薬指が3の倍数
・人差指と小指が3の倍数
・中指が3の倍数

どの場合でも、親指・中指・小指のどれかは3の倍数になる。
3の倍数で素数になる数は3のみなので、3を親指・中指・小指のどれかに割り当てらなければ「親指・中指・小指に割り当てた数がすべて素数になる」ことはない。
さらに「2以上の整数を割り当てる」ためには、親指が3である必要がある（中指が3では、親指が1になってしまう）。
よって、(B)の場合だけが条件を満たす。

ここで不安が。「倍数」って、小学生の時に習ったんだよな…。